Projet de fin d'étude : Les opérateurs d'évolution quaternioniques

Etudiant : MESSAAOUDI MOHAMED

Filière : Master Mathématiques Pures (MMP)

Encadrant : Pr. ZGUITTI HASSANE

Annèe : 2022

Résumé : Apr ́es une lecture initiale faite sur ce th ́eme ( ́etudiants-chercheurs, docteurants, profes- seurs..), on’a constat ́e que le S-calcul fonctionnel fait appel `a plusieurs ́el ́ements et diff ́erentes th ́eories. La premi`ere difficult ́e c’est la non commutativit ́e de corps des quaternions, ce qui exige l’ ́etude s ́epar ́ee du cas gauche et droite dans plusieurs positions, `a titre d’exemple : espace vectoriel et op ́erateur agissant `a gauche et `a droite, valeurs propres... La notion de S- spectre d ́ecouverte en 2006 d ́evelopp ́ee par la suite est la version ”quaternionique” de spectre au cas de la th ́eorie spectrale complexe. Notons aussi que l’holomorphie a jou ́ee un role fon- damental dans le d ́eveloppement de calcul fonctionnel classique (Riesz-Dunford), ici au cas quaternionique les chevaliers F.Colombo et I.Sabadini et d’autres ont trouv ́e une version d’ho- lomorphie adapt ́ee `a ce cas c’est avec la notion de ”S-fonction” et ”S-hyperholomorphie”, et avec ces fonctions ”hyperholomrphes” et quelques propri ́et ́es alg ́ebriques de corps des quater- nions nous somme capable de parler de la version quaternionique des grands th ́eor`emes d’ana- lyse complexe (Th ́eor`eme et formule de Cauchy, principe d’identit ́e, formule de la mooyenne.. ), Ces ́el ́ements se rassemblent pour nous aide `a faire le S-calcul fonctionnel qu’est simplement le calcul fonctionnel de Riesz-Dunford au cas quaternionique. Comme application directe est ́etudier les op ́erateurs d’ ́evolution (Semi-groupes d’op ́erateurs) en s’inspirant du tarvail fait au cas calssique et on esp`ere parler de version quaternionique de ses grands r ́esultats....