Etudiant : RAZZOUK ALI

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. BARBARA ABDELKRIM

Annèe : 2025

Résumé : Ce travail de fin d’études traite des équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques, qui modélisent des phénomènes stationnaires comme la diffusion de la chaleur, l’électrostatique ou la mécanique des membranes. Après avoir introduit les notions essentielles des espaces de Sobolev et des distributions, offrant le cadre fonctionnel adapté pour étudier les solutions faibles de ces équations, l’étude s’oriente vers les problèmes elliptiques linéaires en explorant la formulation variationnelle et le théorème fondamental de Lax-Milgram garantissant l’existence et l’unicité des solutions sous certaines conditions. Enfin, une application concrète est présentée à travers l’équation de Helmholtz, illustrant comment ces outils théoriques permettent de traiter des problèmes aux limites avec différentes conditions (Dirichlet, Neumann, mixtes) et d’établir des résultats d’existence et de régularité des solutions. Ce mémoire offre ainsi une compréhension rigoureuse et progressive des EDP elliptiques, tout en ouvrant des perspectives vers leurs nombreuses applications en physique et ingénierie.