Etudiant : KORCHI OMAR

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. BENBOUZIANE HASSANE

Annèe : 2025

Résumé : Le chapitre 1 introduit les espaces métriques, définis à partir d’une distance vérifiant certaines propriétés (positivité, symétrie, inégalité triangulaire). On y définit les boules, les voisinages, et les suites, en insistant sur la convergence et les suites de Cauchy. Ces notions sont fondamentales pour comprendre la structure des espaces métriques. Les parties ouvertes et fermées permettent de formuler la continuité, définie aussi bien par l’approche epsilon-delta que par des propriétés topologiques. La continuité peut être caractérisée par la conservation des limites de suites ou des ouverts par image réciproque. Les points d'accumulation et points isolés aident à analyser la structure locale des ensembles. La compacité est ensuite étudiée : une partie compacte est telle que toute suite possède une sous-suite convergente ou que tout recouvrement ouvert admet une sous-couverture finie. Une fonction continue sur un espace compact est bornée et atteint ses extremums. Le chapitre 2 étend ces notions aux espaces topologiques, où l’on ne dispose pas nécessairement d’une distance, mais d’une topologie (ensemble d’ouverts). On définit les bases de topologie, les voisinages et les parties fermées, tout en abordant la continuité, encore définie par la préservation des ouverts. La topologie produit est introduite, notamment pour les produits finis d'espaces. La notion de séparation est aussi abordée. La compacité topologique est définie comme la propriété qu’un recouvrement ouvert admet une sous-couverture finie, généralisant la compacité métrique. Le chapitre 3 présente des applications concrètes de la compacité. Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, tout fermé borné est compact (théorème de Heine-Borel). Cela garantit que toute fonction continue atteint un maximum et un minimum, ce qui est fondamental pour l’optimisation. Enfin, la compacité intervient dans la résolution d’équations via les théorèmes du point fixe, qui assurent l'existence d'un point fixe pour certaines applications continues définies sur des compacts convexes.