Extrait Avant-propos : L'ambition de ce livre est d'apporter une présentation simple mais complète du calcul différentiel et intégral de l'année L3 de Mathématiques et Applications. Il est conçu à partir d'un résumé de cours, sans démonstration, et d'un grand nombre d'exercices. Il ne s'agit donc pas d'un cours proprement dit, mais d'un outil pratique pour s'exercer dans trois domaines : topologie et calcul différentiel, intégrale de Riemann et de Lebesgue, séries de Fourier et équations différentielles. Les exercices de chaque partie sont classés en différents paragraphes, indiquant grosso modo les notions qu'il faut connaître pour pouvoir les résoudre. Cependant, quelques rares exercices ne se limitent pas aux seules notions indiquées en tête du paragraphe où ils se trouvent, et font appel à une théorie mentionnée seulement dans les paragraphes ultérieurs. Il a cependant été jugé plus judicieux de les placer là où ils sont. Lorsque c'est le cas, cela se voit immédiatement au niveau de l'énoncé, le lecteur n'est pas pris en traître, et peut attendre d'avoir vu le cours correspondant. Comme dans toute feuille d'exercices de Travaux-Dirigés, certains exercices se ressemblent, mais c'est la répétition qui permet de maîtriser les techniques. La partie topologie ne contient pas la définition générale d'un espace topologique, mais aborde uniquement les espaces vectoriels normes et métriques. Après un rappel sur les propriétés du corps des réels, on commence par les espaces vectoriels normes, en énonçant clairement les différences entre la dimension finie et infinie, et on aborde finalement les espaces métriques. La notion compliquée de connexité est essentiellement traitée sous l'angle de la connexité par arcs. Le calcul différentiel sur les fonctions de plusieurs variables se fait uniquement en dimension finie. Il est donc facile à un étudiant sortant d'une L2 de mathématiques d'aborder ainsi la topologie. Un certain nombre d'exercices en dimension infinie permettent de voir les problèmes nouveaux qui se posent. De même, l'intégrale de Lebesgue n'est pas définie de façon théorique à partir de la notion de tribu, mais à partir de la notion de convergence presque-partout d'une suite de fonctions, et de celle de suites de Cauchy de fonctions en escalier. On récupère ensuite tous les théorèmes classiques de cette intégration. Les séries de Fourier sont abordées à la fois sous la forme de séries d'exponentielles et de séries de sinus et de cosinus, suivant le cas. La partie équations différentielles aborde tous les résultats importants, allant des simples calculs de solutions au théorème de Lyapounov et au principe de Lasalle consacrés aux points d'équilibre. L'ouvrage a été conçu à partir des programmes enseignés à l'Université de Paris-sud depuis la mise en place du LMD en 2005, et correspond aux programmes généralement enseignés dans les parcours de Mathématiques et Applications ainsi que dans les parcours de préparation au CAPES. A Anthony, Beverly et Yassia, mes étudiants de L3 dont le succès est fortement lié aux exercices se trouvant dans cet ouvrage, à Françoise et Mutsy qui ont eu la patience de me voir taper ces lignes sur l'ordinateur de la maison. Présentation de l'éditeur «Un recueil d'exercices soigneusement corrigés dans un style clair et précédé de rappels très complets de cours.» Cet ouvrage couvre le calcul différentiel et le calcul intégral enseigné dans la troisième année de mathématiques, L3. Il s'adresse aux étudiants de mathématiques appliquées et à ceux se destinant à l'enseignement. Il contient la topologie des espaces vectoriels normes, le calcul différentiel en dimension finie, l'intégrale de Riemann et celle de Lebesgue, les séries de Fourier et les équations différentielles, avec l'étude des points d'équilibre et des orbites. Les prérequis sont ceux de l'année L2 de la licence de mathématiques. Chacune des trois parties comporte un résumé de cours d'une vingtaine de pages et de très nombreux exercices corrigés. Chaque chapitre commence par des exercices fondamentaux et simples, et se prolonge avec une gradation permettant de se perfectionner dans des notions devenant difficiles. L'intégration de Lebesgue est facilement accessible par une définition donnant immédiatement accès aux théorèmes et aux applications fondamentales, pour lesquelles elle est utile. Le chapitre sur les équations différentielles contient les théorèmes de Lyapounov et utilise sous toutes ses formes l'inégalité de Gronwall que le lecteur doit savoir maîtriser. L'ouvrage est accessible au lecteur, grâce à un style proche de celui des résolutions orales effectuées devant les étudiants à l'Université, alliant la souplesse et la rigueur.