Etudiant : OUTALEB YOUSSEF

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. OMARI LAHCEN

Annèe : 2020

Résumé : En mathématiques, l'intégration au sens d'une mesure est une branche de l'analyse qui étudie l'intégration des fonctions mesurables définies sur un espace mesurable \left(\varOmega,\varGamma\right) par rapport à une mesure définie sur cet espace. Cette branche est une partie essentielle pour commencer l'étude générale de l'analyse fonctionnelle. Le but de ce travail est de traiter la structure algébrique et de faire une étude analytique sur les ensembles de fonctions mesurables, respectivement des classe de fonctions mesurables pour la relation d'équivalence égalité presque partout, avec la propriété d’être intégrables à une puissance précisée par rapport à une mesure. Ces ensembles sont en générale notés \mathcal{L}_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\varGamma,\mu\right) respectivement L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\varGamma,\mu\right) , avec p\in\left[1,+\infty\right]. De manière plus précise, ce travail va être consacré à faire des études topologiques sur les espaces L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\varGamma,\mu\right) : On définit une norme sur cet espace, puis on cherche la complétude de cet espace normé, et on étudie la dualité de cet espace. Enfin, on va voir une partie sacrifiée à étudier la densité et les approximations possibles dans les espaces L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\varGamma,\mu\right). Pour préparer ce travail, les cours des deux derniers semestres S_{5} et S_{6} sur « mesure et intégration » et « topologie », et qui ont été étudiés intensivement, ont représenté une base fondamentale. Ce projet représente alors une suite logique du cours « mesure et intégration » de la troisième année de licence. Ce projet est divisé en trois chapitres. Le premier chapitre est formé de deux sections : la première section va être consacré à présenter la définition et les propriétés des espaces \mathcal{L}_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right) et les résultats nécessaires pour la suite de ce travail. Dans la deuxième section de ce chapitre, on étudiera les classes des fonctions mesurables dans \mathcal{L}_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right) pour la relation d'équivalence d'égalité presque partout, et on note l'espace des classes par L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right), en distinguant les deux cas p\in\left[1,+\infty\right[ et p=+\infty. On s’intéresse ensuite à la validation des propriétés connues sur les espaces \mathcal{L}_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right) pour les prolonger à L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right). Puis nous nous concentrons sur l'étude de la norme \left\Vert .\right\Vert _{p} définie sur L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right), puis sur la complétude de cet espace par rapport à cette norme. Enfin, dans ce chapitre, on va s’intéresser à étudier la théorie générale de permutation de la limite et l'intégrale connue sous le nom « convergence dominée » ou « convergence de Lebesgue » pour tout p\in\left[1,+\infty\right[. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à étudier l'espace de Hilbert L_{\mathbb{K}}^{2}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right) puis le théorème de Radon-Nikodym, et enfin on va étudier d'une manière détaillée la dualité des espaces L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right). Enfin, un dernier chapitre va être consacrée à étudier la densité dans L_{\mathbb{K}}^{p}\left(\varOmega,\mathcal{T},\mu\right) de sous-ensembles faciles à étudier. et donner une approximation à tout l'espace .