Projet de fin d'étude : Théorème des résidus et ses applications

Etudiant : EL-ANDALOSY ABDEL-ILAH

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. EZ-ZOUAK SIHAM

Annèe : 2023

Résumé : Ce projet est consacré à l’étude du Théorème des résidus et ses applications dans un domaine complexe . Dans le premier chapitre, on introduit les fonctions complexes d’une variable complexe, des extensions des résultats et propriétés des fonctions d’une variable réelle aux fonctions d’une variable complexe sont obtenues. La notion de dérivabilité,les opérations élémentaires (somme, produit, quotient et composition) pour les fonctions d’une variable réelle restent valables pour les fonctions d’une variable complexe, nous allons voir qu’il y a une grande différence dans les propriétés dans cette notion de dérivabilité ; une fonction d’une variable complexe, C-dérivable sur un domaine D est de classe C1 , ce qui n’est pas vrai pour une fonction d’une variable réelle, R-dérivable. Les conditions de Cauchy-Riemann feront un outil très puissant pour l’étude de la différentiabilité dans C. Le second chapitre on étudier les formules intégrales de Cauchy seront très utiles pour le calcul des intégrales curvilignes et même des intégrales réelles compliquées. Dans le troisième chapitre, on fait les extensions des propriétés des séries entières (ou fonctions analytiques) réelles à celles d’une variable complexe. Le développement en série de Taylor de quelques fonctions usuelles est obtenu. Le quatrième chapitre consiste à étudier la notion de résidus, une notion qui est propre aux fonctions d’une variable complexe ayant des points singuliers, ces derniers peuvent être déterminés à l’aide du développement en série de Laurent. Le théorème des résidus donne une relation très pratique entre le résidu en des points singuliers et l’intégrale sur un domaine contenant ces singularités. L’importance du théorème des résidus réside dans le calcul de diverses intégrales réelles un peu compliquées. Le dernier chapitre est une application du théorème des résidus, il est consacré au calcul de plusieurs types d’intégrales réelles.