Etudiant : BELKAS SIHAME

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. KADAOUI ABBASSI MOHAMED TAHAR

Annèe : 2023

Résumé : Le paradoxe de Banach-Tarski ou bien le paradoxe de Hausdorff-Banach-Tarski : est un théorème ensembliste dans la géométrie, qui stipule ce qui suit : Etant donné une balle dans l’espace de 3 dimensions, on peut la décomposer en un nombre fini de sous-ensembles disjoints, qui peuvent ensuite être réunis d’une manière différente, pour produire deux copies identiques de la balle d’origine. En effet, le processus de remontage consiste uniquement à déplacer les pièces et à les faire tourner sans changer leur forme. Cependant, la reconstruction peut fonctionner avec aussi peu que cinq pièces. Une forme plus forte du théorème implique qu’étant donnés deux objets solides "raisonnables" (comme une petite boule et une énorme boule), les morceaux coupés de l’un peuvent être réassemblés dans l’autre. Ceci est souvent déclaré de manière informelle. La raison pour laquelle le théorème de Banach-Tarski est appelé un paradoxe est qu’il contredit l’intuition géométrique de base. "Doubler la balle" en la divisant en parties et en les déplaçant par rotations et translations, sans aucun étirement, flexion ou ajout de nouveaux points, ceci semble être impossible. On ne tient pas compte du volume de la balle lors de la décomposition, parce que le remontage reproduit un ensemble qui a un volume, qui se trouve être différent du volume de départ. Contrairement à la plupart des théorèmes de géométrie, la preuve de ce paradoxe dépend du choix des axiomes pour la théorie des ensembles de manière critique. Elle est prouvée à l’aide de l’Axiome du choix. la preuve de ce théorème est construite en 2 étapes : Hausdorff a démontré en 1913 le paradoxe de la sphère, puis Banach et Tarski ont montré en 1924 le paradoxe sous sa forme frappante.