Etudiant : EL-YAALAOUI BTISSAM

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. EL IDRISSI MOHAMMED

Annèe : 2023

Résumé : La convexité a pris de plus en plus d’importance ces dernières années dans l’étude de problèmes extrêmes dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées. Ce mémoire porte sur les principales définitions et propriétés et des théorèmes fondamentaux concernant les ensembles convexes. L’objectif de notre travail est d’introduire les concepts fondamentaux de la théorie de l’analyse convexe, développer une compréhension profonde des mathématiques appliquées, comprendre la théorie de l’optimisation convexe, acquérir des compétences pratiques. L’étude des éléments d’analyse convexe nécessite souvent une connaissance préalable des concepts fondamentaux en mathématiques, en particulier en analyse réelle et en théorie des ensembles. Tout a été limité à Rn, l’espace de tous les n-uplets de nombres réels, même si de nombreux résultats peuvent facilement être formulés dans un cadre plus large d’analyse fonctionnelle. Ce mémoire se compose de quatre chapitres structurés comme suit : Le premier chapitre contient l’outil mathématique dont on aura besoin dans la suite. On présente des rappels sur les ous espaces vectoriels ,l’analyse convexe et des définitions topologiques et séparations . Dans le deuxième chapitre, nous présentons les propriétés de base de la topologie et séparations d’un ensemble convexe. Cette présentation nous ramène à exprimer la relations entre l’intérieur et l’intérieur relatif d’un ensemble convexe. On termine ce chapitre en évoquant la séparation, qui est une technique fondamentale qui consiste à séparer un point d’un ensemble convexe par un hyperplan. Au troisiéme chapitre, on commence par les défnitions et propriétés élémentaires de cône. On définit ensuite le cône polaire et on donne quelques propriétés. Ils sont utiles pour étudier des problèmes d’optimisation convexe et permettent de formuler des conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence de solutions. On termine ce chapitre par le théorème de Farkas est une application importante de ces concepts, et permet de formuler des conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence de solutions à des systèmes d’inégalités linéaires. Le quatrième chapitre, en premier lieu, nous présentons la définition des fonctions convexes à valeur dans R et par suite à valeur dans R, en donnant quelques exemples et en énonçant leurs propriétés intéressantes. Cette présentation nous amène à définir les fonctions convexes semi-continue inférieurement, qui sont des fonctions convexes qui possèdent une structure particulière. En deuxième lieu, on définit une propriété importante, qui est la fermeture d’une fonction convexe. Enfin, on donne quelques définitions, notations et assertions relatives aux fonctions concaves, qui résultent directement de leurs analogues convexes.