Etudiant : EL-KHARRAZI REDOUANE

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. LAZAIZ SAMIH

Annèe : 2020

Résumé : L'objectif de ce travail est d'étudier les théorèmes du point fixe de Banach et de Caristi dans les espaces métriques. Nous commençons par rappeler quelques propriétés importantes des espaces métriques: la complétude, la compacité et la semi-contuité inférieure des applications, le principe de contraction de Banach avec deux applications et nous verrons vers la fin le théorème du point fixe de Caristi et ses équivalences. Le principe de contraction prouvé par Banach en 1922, affirme qu'une application contractante d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe. En 1976, Caristi a obtenu un théorème de point fixe qui contrairement au théorème de Banach, n'exige pas que la fonction en question soit une contraction. En 1972, Ekeland a obtenu le principe variationnel, un résultat qui s'inscrit dans la théorème de l'optimisation. À premiere vue ces théorèmes n'ont aucune relation. En fait, les deux résultats découlent du lemme de Bishop-Phelps. Il est à noter que nous avons choisi de présenter la démonstration du théorème de Caristi qui utilise le lemme de Bishop-Phelps, puisqu'elle est beaucoup plus simple que celle originalement fait par Caristi.