Etudiant : HNINI MOHAMED

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. BENBOUZIANE HASSANE

Annèe : 2025

Résumé : Ce travail s'intéresse à l'étude approfondie de la dimension finie dans le cadre de l'analyse et de l'algèbre linéaire. La dimension finie, définie par l'existence d'une base finie dans un espace vectoriel, confère à ces espaces des propriétés topologiques et analytiques remarquables qui simplifient considérablement les raisonnements et permettent d'obtenir des résultats puissants. Nous avons commencé par étudier les espaces vectoriels normés de dimension finie, en mettant en évidence des résultats fondamentaux tels que l’équivalence des normes, la complétude, et la continuité automatique des applications linéaires. Nous avons ensuite exploré les résultats topologiques dans les espaces métriques et normés de dimension finie, en particulier la compacité (via le théorème de Heine-Borel), et la convergence des suites (théorème de Bolzano-Weierstrass), propriétés qui reposent fortement sur la finitude de la dimension. Dans une troisième partie, nous avons abordé les espaces de Hilbert et leur usage en dimension finie, notamment l’orthogonalité, les bases orthonormales, les projections, et les séries de Fourier, où la dimension finie permet des formulations élégantes et des démonstrations simplifiées. Enfin, nous avons terminé par des applications en analyse différentielle, où la différentiabilité en dimension finie permet une utilisation fluide de notions comme la matrice jacobienne, la hessienne, et les théorèmes d’optimisation avec contraintes, rendus plus accessibles par l’équivalence des normes. Ainsi, ce mémoire met en lumière que la dimension finie n’est pas un simple cadre technique, mais un outil structurant qui simplifie, unifie et renforce les résultats en analyse, tout en gardant une forte portée théorique et pratique.