Etudiant : EL IMAMY HANANE

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. EL MASSOUDI M'HAMED

Annèe : 2025

Résumé : Le but de ce mémoire est d’explorer l’utilisation des méthodes spectrales pour étudier la dynamique des populations. En utilisant des méthodes numériques telles que les polynômes de Tchebyshev, Legendre, Laguerre ou Hermite, il est possible d’obtenir une précision élevée dans le développement de la solution d’une équation différentielle en séries de fonctions orthogonales pour les modèles avec des solutions régulières. Le travail commence par une introduction des concepts fondamentaux tels que les équations aux dérivées partielles, les espaces de Hilbert et les bases orthogonales. La suite consiste en une analyse approfondie des polynômes orthogonaux utilisés comme fondement fonctionnel dans les méthodes spectrales. Ensuite, diverses techniques spectrales sont exposées, telles que les méthodes de Galerkin, de Tau, de collocation et de Tau-Collocation, en mettant en lumière leurs principes, avantages et limites. Le mémoire se termine par une analyse de l’application de ces méthodes à divers modèles de dynamique des populations, allant des modèles simples de croissance exponentielle et logistique aux modèles complexes de type Lotka-Volterra, incluant les interactions entre espèces, les retards temporels et la structure par âge. Les méthodes spectrales sont mises en évidence dans des études de cas qui démontrent leur efficacité dans la simulation et l’analyse du comportement des populations biologiques. Ce travail met en évidence l’efficacité des méthodes spectrales dans la compréhension des mécanismes dynamiques d’évolution des espèces et la simulation avec précision écologique.