Etudiant : MEZIANY MOHAMMED

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. AIT HAMMOU Mustapha

Annèe : 2026

Résumé : Dans ce mémoire, nous avons étudié la transformée de Fourier dans différents cadres fonctionnels. Nous avons commencé par établir les préliminaires nécessaires, puis défini la transformée de Fourier successivement dans L1(R), L2(R), l’espace de Schwartz S(R) et l’espace des distributions tempérées S′(R). Nous avons mis en évidence les propriétés remarquables de cet opérateur : la formule de Plancherel-Parseval, la formule d’inversion, et le lien avec le produit de convolution. Nous avons ensuite illustré la puissance de cet outil à travers les principes d’incerti tude, notamment l’inégalité de Heisenberg, et la résolution d’équations aux dérivées partielles classiques (équation de Laplace, équation des cordes vibrantes, équation de Schrödinger). Enfin, nous avons vu comment la transformée de Fourier s’étend naturel lement aux fonctions caractéristiques en probabilités, aboutissant au théorème central limite. Ce travail illustre la transversalité remarquable de la transformée de Fourier, véri table pont entre l’analyse, la physique mathématique et la probabilité