Etudiant : HROURI HAJAR

Filière : Master Mathématiques Pures (MMP)

Encadrant : Pr. CHEMS-EDDINE MOHAMED MAHMOUD

Annèe : 2024

Résumé : L'étude des anneaux de polynômes à valeurs entières est une branche riche et moderne des mathématiques, présentant des implications profondes et variées. Un anneau commutatif intègre R avec un corps des fractions K est au cœur de cette étude. On définit Int(R) comme l'ensemble des polynômes à coefficients dans K qui envoient les éléments de R dans R, c'est-à-dire : Int(R) = {f ∈ K[X] : f(R) ⊆ R}. Cet ensemble forme un anneau appelé l'anneau des polynômes à valeurs entières sur R. La recherche sur ces anneaux a une longue histoire, marquée par des contributions significatives à différents moments. En 1919, les mathématiciens Pólya et Ostrowski ont introduit l'anneau des polynômes à valeurs entières pour l'anneau des entiers d'un corps de nombres. Cette étape a été cruciale pour comprendre comment ces polynômes peuvent être utilisés dans divers contextes mathématiques. En 1970, Cahen et Chabert ont généralisé ce concept aux anneaux intègres commutatifs quelconques R, ouvrant la voie à une compréhension plus large et plus flexible des polynômes à valeurs entières. Leur travail a permis d'élargir les applications et d'explorer de nouvelles propriétés de ces anneaux. La recherche s'est poursuivie avec Anderson et ses collègues en 1991, qui ont étudié l'anneau des S-polynômes à valeurs dans R. Ils ont défini I(S, R) comme l'ensemble des polynômes à coefficients dans S qui envoient les éléments de R dans R, c'est-à-dire I(S, R) := {f ∈ S[X] : f(R) ⊆ R}, où R ⊆ S est une extension d'anneaux commutatifs intègres. Cette généralisation de l'anneau des polynômes à valeurs entières est parfois notée Int_{S}(R). En 1993, Cahen a proposé une autre généralisation importante, l'anneau des polynômes à valeurs entières sur un sous-ensemble E de K. Il a défini Int(E, R) comme l'ensemble des polynômes à coefficients dans K qui envoient les éléments de E dans R, c'est-à-dire Int(E, R) := {f ∈ K[X] : f(E) ⊆ R}, où R est un anneau commutatif intègre avec K comme corps des fractions. Plus récemment, en 2020, Tamoussit a introduit une nouvelle généralisation de ces concepts en définissant l'anneau des S-polynômes à valeurs dans R sur un sous-ensemble E. Cet ensemble, noté Int_{S}(E, R), est défini par Int_{S}(E, R) := {f ∈ S[X] : f(E) ⊆ R}, où R ⊆ S est une extension d'anneaux commutatifs intègres et E est un sous-ensemble du corps des fractions de R. Cette construction étend les concepts de Int_{S}(R) et Int(E, R). L'objectif de ce projet de fin d'études est d'explorer ces différentes généralisations et d'approfondir la compréhension des propriétés et applications des anneaux de polynômes à valeurs entières. Nous étudierons également les idéaux premiers de Int(R) dans des différents cas.