Etudiant : JEMAAOUI HOUSSAM

Filière : Master Mathématiques Pures (MMP)

Encadrant : Pr. KADAOUI ABBASSI MOHAMED TAHAR

Annèe : 2025

Résumé : Dans ce mémoire, nous avons proposé une exploration approfondie de la géométrie moderne à travers les fondements posés par Felix Klein et Élie Cartan, en suivant leur fil conducteur : comprendre les structures géométriques à travers l’action des groupes de transformations. Nous avons commencé par introduire les fibrés principaux et leurs connexions, qui constituent le cadre naturel pour modéliser les structures géométriques globales et locales, puis nous avons développé un calcul intégral non-abélien adapté aux groupes de Lie. Nous nous sommes ensuite intéressés au programme d’Erlangen de Klein, où une géométrie est caractérisée par un espace homogène G/H, avant de passer aux géométries de Cartan, qui généralisent cette perspective en intégrant la notion de connexion comme outil local fondamental. La seconde partie de notre travail a été consacrée au problème d’équivalence de Cartan, notamment pour les structures conformes de signature (p, q), que nous avons étudié à l’aide des G-structures et de leurs prolongements. Cette analyse nous a naturellement conduits à introduire l’espace d’Einstein '' Ein^(p,q) '' , qui joue un rôle clé à la fois comme modèle canonique pour les structures conformes de signature (p,q) et comme outil central en physique théorique, en particulier dans la relativité générale et les théories de jauge, où il modélise l’infini conforme des espaces-temps. Ainsi, l’espace d’Einstein apparaît comme la solution géométrique du problème d’équivalence de Cartan pour les structures conformes de signature (p,q), tout en constituant une pierre angulaire dans la compréhension géométrique de l’univers physique. Par ce travail, nous avons cherché à mettre en lumière la profondeur et la cohérence des idées géométriques issues de Klein et Cartan, tout en soulignant leur portée actuelle dans les mathématiques et la physique. Nous espérons que ce mémoire pourra servir de base pour des recherches futures, qu’il s’agisse d’approfondir l’étude des structures de Cartan, d’appliquer ces cadres aux modèles physiques contemporains, ou d’explorer les liens entre géométrie différentielle, théorie de jauge et gravité conforme. Il ouvre ainsi la voie à un dialogue fécond entre la géométrie abstraite et les grandes questions scientifiques modernes.