Etudiant : MHAMDI ALI

Filière : Master Mathématiques Pures (MMP)

Encadrant : Pr. ECH-CHERIF EL KETTANI MOSTAPHA

Annèe : 2025

Résumé : L'étude des opérateurs linéaires dans les espaces de Banach constitue l'un des piliers de l'analyse fonctionnelle moderne. Parmi ces opérateurs, les opérateurs algébriques jouent un rôle fondamental, non seulement pour leur structure interne mais aussi pour les nombreuses propriétés spectrales qu'ils révèlent. Leur étude permet de relier l'algèbre linéaire classique à des théories plus avancées comme la théorie spectrale, les algèbres d'opérateurs et la géométrie projective fonctionnelle. Ce travail a pour but d'explorer les propriétés des opérateurs algébriques dans les espaces de Banach complexes, en mettant particulièrement l'accent sur leur décomposition spectrale et sur les problèmes de préservation qui leur sont associés. L'approche suivie combine des outils issus de l'analyse complexe, de l'algèbre linéaire, ainsi que de la géométrie projective, pour fournir une vue d'ensemble cohérente et approfondie. Le mémoire s'organise comme suit : Le chapitre 1 est consacré aux préliminaires. Il présente la théorie spectrale classique, le lemme des noyaux, des résultats d'analyse complexe, ainsi que les notions d'ascente et de descente d'un opérateur linéaire. Le chapitre 2 introduit les opérateurs algébriques. On y définit cette classe d'opérateurs, avec des exemples, puis on examine leur stabilité, leurs propriétés spectrales et topologiques. Le chapitre 3 est consacré à la décomposition spectrale des opérateurs algébriques. On y traite les sous-espaces caractéristiques, les idempotents de Riesz, les pôles de la résolvante et les opérateurs à résolvante rationnelle. Le chapitre 4 aborde les problèmes de préservation, notamment les applications bijectives qui conservent des structures comme l'orthogonalité ou la comparabilité entre idempotents.