Etudiant : DAMANI HASNAE

Filière : Master Mathématiques Appliquées et Systèmes Intelligents (MASI)

Encadrant : Pr. ZAFRARE ABDERRAHIM

Annèe : 2026

Résumé : Ce mémoire de fin d’études s’inscrit dans le domaine de l’épidémiologie mathématique et porte sur l’analyse théorique et numérique d’un modèle épidémiologique avec diffu- sion spatiale. L’objectif principal est d’étudier l’influence des déplacements des individus dans un habitat spatialement hétérogène sur la dynamique de propagation des maladies infectieuses, en mettant particulièrement l’accent sur le nombre de reproduction de base R0. Le premier chapitre présente les fondements des modèles compartimentaux classiques de type SIR, introduits par Kermack et McKendrick (1927). Nous y définissons le nombre de reproduction de base R0, établissons la relation de taille finale d’une épidémie et analysons plusieurs exemples historiques, notamment l’épidémie de grippe à Yale et la Grande Peste d’Eyam. Nous présentons également plusieurs extensions du modèle SIR, telles que les modèles SIS, SI, SEIR, SIRS, MSEIR, SEIRS ainsi que les modèles intégrant la vaccination. Le deuxième chapitre constitue le cœur de ce travail. Nous y étudions un modèle de réaction-diffusion de type SIS défini sur un domaine spatial borné Ω, dans lequel les coefficients de transmission β(x) et de guérison γ(x) sont spatialement hétérogènes. Le nombre de reproduction de base R0 est caractérisé à l’aide d’un quotient de Rayleigh variationnel. Nous démontrons l’existence et l’unicité de l’équilibre sans maladie (Disease- Free Equilibrium, DFE) ainsi que de l’équilibre endémique (Endemic Equilibrium, EE), puis nous analysons leur stabilité globale selon la valeur de R0. Enfin, nous étudions le comportement asymptotique de l’équilibre endémique lorsque le coefficient de diffusion des individus susceptibles dS tend vers zéro, mettant en évidence l’apparition d’une frontière libre ainsi qu’une distribution spatiale non triviale des individus susceptibles. Le troisième chapitre est consacré à l’étude numérique du modèle. Nous proposons une discrétisation par différences finies associée à un schéma semi-implicite en temps. Une mé- thode numérique de calcul du nombre de reproduction de base R0 en milieu hétérogène est développée. Elle repose sur la résolution d’un problème aux valeurs propres généra- lisé, transformé en un problème spectral symétrique standard, garantissant une meilleure stabilité numérique. Un chapitre de préliminaires mathématiques complète ce travail en rappelant les prin- cipaux outils d’analyse utilisés. Il présente notamment le théorème de Krein–Rutman, le théorème de Smoller, le principe du maximum, les estimations elliptiques W 2,p, les injec- tions de Sobolev ainsi que la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints, incluant les Laplaciens munis de conditions aux limites de Dirichlet, de Neumann et de Robin.