Etudiant : HDIDOU NADA

Filière : Master Mathématiques Appliquées et Systèmes Intelligents (MASI)

Encadrant : Pr. AKDIM YOUSSEF

Annèe : 2026

Résumé : Ce mémoire de fin d’études est consacré au développement et à la validation de schémas numériques Asymptotic Preserving (AP) pour la résolution de l’équation de Vlasov-Poisson-BGK. La difficulté majeure de ces modèles cinétiques réside dans la raideur numérique induite par le nombre de Knudsen (δ) lorsqu’il tend vers zéro (ce qui correspond au cas fortement collisionnel), rendant les schémas explicites classiques extrêmement coûteux car limités par un pas de temps ∆t = O(δ). Pour lever ce verrou, nous utilisons une décomposition micro-macro (f = M(U )+g), qui sépare la fonction de distribution en une maxwellienne locale (équilibre macroscopique) et une perturbation cinétique. Le système couplé obtenu est discrétisé via un code développé en Fortran 90. La partie macroscopique est traitée par un formalisme de volumes finis utilisant le flux Harten-Lax-Van Leer (HLL), tandis que la partie microscopique est résolue par un schéma Upwind semi-implicite garantissant la stabilité uniforme. La validité du solveur est démontrée à travers deux cas tests de référence : le tube à choc de Sod, qui confirme la convergence vers le régime d’Euler, et l’amortissement de Landau, qui valide le couplage avec le champ électrique auto-cohérent. Les résultats numériques prouvent que le schéma possède la propriété AP en δ, capture avec précision la limite hydrodynamique, et maintient une stabilité rigoureuse sans contrainte de maillage restrictive. Le régime de diffusion est également étudié.