Etudiant : ABDOU IMANE

Filière : Modélisation Stochastique et Statistique Décisionnelle (MSSD)

Encadrant : Pr. SALIM EL AZAMI EL-IDRISSI

Annèe : 2026

Résumé : Ce mémoire de master en modélisation stochastique et statistique décisionnelle porte sur l'étude d'un modèle épidémique SIRS intégrant un processus stochastique de Black-Karasinski pour modéliser l'incertitude du taux de transmission. L'objectif principal est de dépasser les limites des approches déterministes classiques, qui ignorent les fluctuations environnementales, et d'offrir une modélisation plus réaliste de la propagation des maladies infectieuses. Le travail s'articule en plusieurs étapes. Dans un premier temps, les auteurs posent les bases théoriques nécessaires en présentant le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, solution de l'équation de Langevin, qui constitue le fondement du modèle de Black-Karasinski. Ce dernier, également appelé processus d'Ornstein-Uhlenbeck logarithmique, présente deux avantages majeurs par rapport au bruit blanc standard : il garantit la positivité du taux de transmission et corrige le problème de divergence de la variance à court terme, tout en conservant une propriété réaliste de retour vers la moyenne. Le modèle déterministe SIRS est ensuite étudié en détail. Il divise la population en trois compartiments (susceptibles, infectés, rétablis) et intègre un transfert direct des infectés vers les susceptibles. L'analyse qualitative montre l'existence d'un seuil critique, le nombre de reproduction de base R₀, qui détermine le devenir de l'épidémie : si R₀ est inférieur ou égal à 1, la maladie s'éteint ; s'il est supérieur à 1, un équilibre endémique stable s'installe. La contribution originale du mémoire réside dans l'introduction du processus de Black-Karasinski pour modéliser le caractère aléatoire du taux de transmission. Le système stochastique résultant est rigoureusement analysé. Les auteurs démontrent l'existence et l'unicité d'une solution globale positive, garantissant la cohérence biologique du modèle. Ils établissent ensuite deux résultats complémentaires : une condition suffisante d'extinction de la maladie lorsque le nouveau seuil stochastique R₀* est inférieur à 1, et une condition de persistance avec existence d'une distribution stationnaire lorsque R₀* est supérieur à 1. Ce seuil stochastique, donné par R₀* = β̄ exp(σ²/(4K))/(a+c+η+d), généralise le seuil déterministe et montre que le bruit peut modifier radicalement l'issue d'une épidémie, en faisant persister une maladie qui s'éteindrait dans un contexte déterministe. Pour affiner la compréhension du comportement à long terme, une approximation de la fonction de densité de probabilité est réalisée par linéarisation du système autour de l'équilibre quasi-endémique. Il en résulte une distribution normale multivariée dont la matrice de covariance est explicitée. Enfin, des simulations numériques approfondies, basées sur le schéma de Milstein, viennent valider l'ensemble des résultats théoriques. Elles permettent d'étudier l'influence des différents paramètres : un taux de transmission moyen élevé ou une forte volatilité favorisent la persistance, tandis qu'un taux de mortalité lié à la maladie élevé, un fort transfert des infectés vers les susceptibles ou une grande vitesse de retour vers la moyenne accélèrent l'extinction et stabilisent le système vers le cas déterministe. En conclusion, ce mémoire démontre la pertinence du processus de Black-Karasinski pour modéliser l'incertitude en épidémiologie. Il offre un cadre mathématique rigoureux, des conditions claires d'extinction et de persistance, ainsi qu'une caractérisation statistique précise de l'état stationnaire, le tout confirmé par des simulations. Ces résultats soulignent l'importance de prendre en compte les fluctuations environnementales dans l'élaboration des stratégies de contrôle et de prévention des épidémies.