Etudiant : OJLY ACHRAF

Filière : Modélisation Stochastique et Statistique Décisionnelle (MSSD)

Encadrant : Pr. EL BARRIMI OUSSAMA

Annèe : 2026

Résumé : L’évaluation de la solidité financière d’une compagnie d’assurance repose fondamentalement sur la quantification stochastique du risque d’insolvabilité, mathématiquement formalisé par la probabilité de ruine Ψ(u). Le présent rapport propose une analyse exhaustive et rigoureuse des méthodes numériques d’estimation de cette probabilité en temps infini dans le cadre du modèle classique de Cramér-Lundberg, où les sinistres surviennent selon un processus de Poisson homogène et leurs montants sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Bien que des formules analytiques exactes — l’approximation de Cramér-Lundberg et la représentation en série de Pollaczek-Khinchine — fournissent un socle théorique robuste, leur application pratique se heurte à des limites computationnelles majeures dès que la distribution des montants de sinistres s’écarte du cas exponentiel. La méthode de Monte Carlo standard, universellement convergente par la loi forte des grands nombres, souffre d’une explosion de la variance relative lorsqu’elle est confrontée à l’estimation d’événements rares, caractéristiques des grands capitaux initiaux. Pour surmonter cette dégénérescence asymptotique, deux techniques avancées de réduction de variance sont développées et comparées. L’échantillonnage préférentiel par transformée d’Esscher s’avère extrêmement efficace pour les distributions à queue légère (exponentielle, gamma), annulant quasi parfaitement l’erreur relative asymptotique. Toutefois, cette approche devient mathématiquement inopérante pour les lois à queue lourde (Pareto, log-normale) en raison de la divergence de leur fonction génératrice des moments. Pour pallier cette limite structurelle, une méthode de Monte Carlo conditionnelle reposant sur l’estimateur d’Asmussen-Kroese est développée et prouvée. En exploitant les propriétés intrinsèques des lois sous-exponentielles et le théorème de Rao-Blackwell, cet estimateur garantit une erreur relative bornée, voire évanescente, sans nécessiter de changement de mesure probabiliste.