Etudiant : EL-AKCHIOUI MOHAMED

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. LAMRINI FAICAL

Annèe : 2019

Résumé : La théorie spectrale est un domaine des mathématiques dont les premiers résultats appartiennent à l'algèbre linéaire qui est une remarquable branche de mathématique. En dimensionnie, l'objet de la théorie spectrale consiste à établir une base orthonormale de vecteurs propres pour tout endomorphisme symétrique sur un espace vectoriel complexe de dimension nie. Notre objectif est de donner un aperçu sur les opérateurs et la mesure spectrale. Suite à cette problématique, le plan du sujet s'énonce comme suit : Dans le premier chapitre, on va commencer par rappeler quelques notions fondamentales qui nous permettront de dénir d'une manière simple ce qui arrivera par la suite où le but principal est de dénir l'espace de Banach et Hilbert avec ses propriétés. Dans le deuxième chapitre, on va faire la constatation d'une étude qualitative des opérateurs et on va chercher en particulier à en déterminer des propriétés spectrales spéciques. On va parler aussi des opérateurs linéaires à travers lesquels on y étudiera les opérateurs linéaires bornés d'où le rassemblement des concepts sur le spectre, les valeurs et les vecteurs propres. Et pour nir il est important aussi d'aborder d'importantes notions pour la suite telles que l'inverse, l'adjoint d'un opérateur, et l'opérateur autoadjoint, suivis de quelques exemples. Ce dernier consistera à mettre en relation les propriétés spectrales de ces opérateurs. Dans le troisième chapitre, on va parler des algèbres de Banach, de la notion des C∗-algèbres, et on va étudier l'existence et l'unicité de la mesure spectrale.