Etudiant : ASERAR LOBNA

Filière : LF Sciences Mathématiques et Applications

Encadrant : Pr. JARRAR OULIDI ABDERRAHMANE

Annèe : 2019

Résumé : L'analyse complexe est un domaine des mathématiques traitant des fonctions à valeurs complexes (ou, plus généralement, à valeurs dans un ℂ - espace vectoriel) et qui sont dérivables par rapport à une ou plusieurs variables complexes, ses nombres sont des nombres complexes qui forment une extension de l’ensemble des nombres réels ℝ. Ils permettent de définir des solutions à toutes les équations polynômiales à coefficients réels. Les nombres complexes furent introduits au 16éme siècle par les mathématiciens italiens cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana et Ludovico Ferrari. Ce n’est qu’à partir du 19éme siècle que se développe avec les travaux de Gauss et de Cauchy. L’ensemble des sommes et produit de nombres réels et du nombre imaginaire i (les nombres de la forme x + i y) satisfait les propriétés d’une structure de corps commutatif9 qui contient le corps des réels. Il est appelé corps des nombres complexes et on le note ℂ. Il est muni de l’application module qui généralise la valeur absolue des nombres réels mais ne peut pas être ordonnée totalement de façon compatible avec sa structure de corps. Pour une fonction de ℂ dans ℂ, on emploie le terme holomorphe plutôt que dérivable. Les premiers exemples de fonctions de la variable complexe sont des fonctions polynômiales à coefficients complexes, et plus généralement les sommes de séries entières convergentes à coefficients complexes. Réciproquement, nous verrons qu’une fonction f est holomorphe en un point �$de ℂ si et seulement si f est développable en série entière sur un voisinage de ce point. Le but de ce mémoire est de mettre à jour les propriétés des fonctions holomorphes. Plus spécifiquement :10 1- De se familiariser avec la notion d’holomorphie : Définition de la notion d’holomorphie se traduisant par les conditions de Cauchy- Riemann. 2- Définir les séries entières : rayon de convergence, disque de convergence et méthode pratique pour calculer le rayon de convergence... 3- D’être capable de développer une fonction holomorphe en série entière. 4- Calculer les résidus et certaines intégrales comme applications de théorème de résidus. Ce mémoire contient six chapitres : Dans le premier chapitre, nous nous sommes intéressés aux variables complexes et leurs propriétés fondamentales. Dans le deuxième chapitre, on a faire un rappel sur les suites de fonctions, les séries de fonctions et les séries entières.11 Dans le troisième chapitre, on a étudié les fonctions analytiques, les fonctions holomorphes et leurs propriétés fondamentaux. Dans le quatrième chapitre, on a montré comment faire une intégration des fonctions holomorphes suivant un chemin. Le cinquième chapitre est consacré au théorème et formule de Cauchy et ses applications. Finalement, le dernier chapitre était à propos du théorème de résidus et quelques applications des nombres complexes dans le domaine mathématique, physique et mécaniques quantique et fluide.